保费计算公式(从大数法则到保费计算)

有人对概率感兴趣吗?

谈到概率,就不得不谈一谈抛硬币的实验:

抛出一枚硬币,正面朝上的概率是多少呢?

都知道,是50%。

那么,如果我抛10次硬币,一定是5次正面朝上吗?

你可以试试看。

那如果抛100次呢?跑1万次呢?抛100万次呢?

保费计算公式(从大数法则到保费计算)

真有人做过这样极其无聊的实验,比如著名数学家费勒,他抛了10000次,正面朝上的次数为4979次,接近于概率50%。

这个实验告诉我们:

我们无法预测每一次硬币的朝向,但只要实验次数足够多,我们就可以确定正面或反面出现的次数。

一、大数法则

抛硬币的实验,换到保险上,也是适用的:

我们无法判断一个人今年会不会得大病,会不会死亡,

但只要有足够多的人,我们就能确定今年有多少个人得大病,有多少人会死亡。

因此,我们可以较准确地估计,100万的男性被保人,大约有1174人,将于30岁这一年里罹患6种常见的重疾之一(源于中国人身保险业重大疾病经验发生率表(2020))。

这被称为保险的大数法则。

保险的本质就是通过运用大数法则,集合大多数人的风险,当少数人的风险发生时,再分散到每个人身上去。

如果风险发生的概率太大了,或者人数不够多,那保险就变成了赌博。

基于大数法则,保险行业做了两张表:生命表与重疾发生率表。

保费计算公式(从大数法则到保费计算)

当我们有了这些数据以后,就可以着手计算保费了。

二、保费的计算

在计算保费中,我们主要考虑4种因素:

1)承保事件发生的概率

2)资金的时间价值

3)承诺的给付

4)保险公司的成本与利润

仅考虑前3项因素计算得出的保费,被称为净保费,加上第4项就称为毛保费,也就是保险公司向我们收取的保费:

净保费+附加费用=毛保费

下面我们只计算净保费,不考虑保险公司的成本与利润。

1、简单的问题

根据《中国人身保险业经验生命表(2010-2013)》,30岁男性的当年死亡率为0.000797。

现在要开发一款1年期的定期寿险,保额为1万元,现在有10万名30岁男性,请问要向每人收取多少保费?

计算过程:

1)根据大数法则,我们计算出当年死亡人数:

10万*0.000797=79.7人

2)我们计算出要赔付的总额:

79.7人*1万=79.7万

3)赔付总额分到每一个人头上:

79.7万/10万=7.97元

实际上,你可以直接用保额乘以概率,即1万乘以0.000797,也能得出相同的结果。

是不是很简单?

保费计算公式(从大数法则到保费计算)

当然,现实中没这么简单。

这个计算过程中,我们只考虑了承诺的给付和概率两个因素,并没有第二个因素:资金的时间价值。

下面,我们要把它加进去。

2、利率的影响

我们的保费给了保险公司,但保险公司并不是马上用于赔付,中间会有一段投资的时间,而投资是有利息的。

就像你把钱存入银行,银行会定期给你利息,但保险公司没有给,钱去哪里了呢?

为了解释这个问题,我们要来计算利息。

现在假定保险公司的投资利率是3.0%,但是光知道这一点但这还不够,我们必须知道投资的期限,因为1万块钱投资1年和投资半年的利息是不一样的!

问题就出在这里:保险公司并不知道什么时候要赔上面的1万元,因为这79.7个人,有人买了保险第二天就死了,有的人最后一天才死。

赔付的时机不知道,投资期限,也就没办法知道。

保费计算公式(从大数法则到保费计算)

但我们可以继续假设:

这79.7个人,全在保单年度最后一天死,那保险公司只需要在最后一天准备1万块钱,保险公司也就有足足一年的时间来投资,获得利息。

问题是不是就简单多了?

当然,这样的假设与实际会有偏差,保险公司可以对偏差进行修正,这个就不拓展了。

现在咱们就可以计算了:

按照3%的投资利率,为了年底能赔79.7万,保险公司需要在年初投资多少钱呢?

计算过程:

1)假设年初投资X万元,列出等式:

X*(1+3%)=79.7万,解得x=77.4万。

换言之,由于投资收益的存在,保险公司在年初只需要收取77.4万元,即每个人收取7.74元,而不是当初的7.97元。

我们的保费便宜了,或者说我们的保费被折现了:7.74元,就是为获得7.97元,以3%的利率投资一年所需要的现值。

保险公司以降低保费的形式,把利息给了我们。

如果利率换成3.5%呢?

我们按照同样的步骤,可以计算得出,每个人的保费是:7.7元。

因此,预定利率越高,净保费越低。

但每款产品,究竟采用多少的预定利率,这是保险公司内部机密,咱们不知道。

根据银保监会规定,目前的普通型人身险保费预定利率上限是3.5%。

3、趸交长期险的保费计算

上面计算的是交一年保一年的寿险,但市面上更多的是长期险:保障期限大于1年的,比如保5年,10年、30年乃至终身。

这次我们要计算一个交1年保5年的定期寿险。

与计算1年的保费区别主要在于:5年的定期寿险,每年死亡人数不一样,保险公司的投资期限也不一样(有1年的,2年的,还有5年的)。

如下表:

保费计算公式(从大数法则到保费计算)

●计算过程:

第3列,是死亡率,源于生命表(2010-2013);

第4列,是年初人数,等于上年年末人数;

第5年,是死亡人数,等于年初人数乘以死亡率;

第6列,是年末人数,等于年初人数减去死亡人数;

第7例,等于死亡人数*保额10000;

第8列,是投资总利率,第一年是(1+3.5%),第2年是(1+3.5%)²,第三年,是(1+3.5%)³,以此类推;

第9列,是折现因子,也就是第8列的倒数;

第10列,是折现后的赔付金额,也就是保险公司年前需要准备的金额。

我们将第10列加总,就得到了折现后的赔付总额:4081273.33元。

然后将赔付总额除以人数,得出每个人的保费是40.81元。

建议使用excel输入公式计算。

4、水平保费长期险的保费计算

上面我们计算的是趸交保费——一次性缴纳保费,但现实中,大家都是分期缴费,又称水平保费:每年交同样多的钱。

这次,我们计算交5年,保5年的定期寿险。

和趸交保费,最大的区别就是:

在保5年的情况下,年年都有人死去,而死人是没办法继续交保费的!

为了计算水平净保费,我们先假设净保费为p,如下表:

保费计算公式(从大数法则到保费计算)

前4列就不解释了,上面已经说过。

我们看第5列。

第5列折现因子,第一年的是1,这是因为我们计算的保费,不是赔付金额。而保费是在年初收取的,因此年初的折现因子就是1。

第6列的水平保费现值,等于年初人数*折现因子*每年的水平保费P,现在我们只需要加总即可,等于466542.245*p。

而在趸交5年期净保费的计算过程中,我们知道一共要赔付的现值是4081273.33元。

因此,我们只需要让收取的保费现值等于未来赔付的现值即可,也就是:

466542.245*p=4081273.33,解得p=8.75元。

被保人每年要交8.75元,交5年。

你会发现,交5年的总和是43.74元,大于趸交净保费40.81元。

为什么缴费期限一长,保费总和就高了呢?

保费计算公式(从大数法则到保费计算)

这个问题常常出现,比如买重疾险,为什么30年缴费的要比20年缴费总和更贵一些?为什么年交比月交总和更贵?

这受到两个方面的影响:

1)缴费期限越短,每次缴费越多,保险公司用于投资的本金更多;

2)保费,只能从活人那里收取,改成水平缴费后,缴费的时间越长,后面缴费的人数越少。

换言之,在水平净保费的计算中,同时对死亡率和利率进行了折算。

实际上,无论是趸交、10年交还是30年交,都遵循着同样的规则:未来给付的现值等于未来总保费的现值,用保险精算公式表示为:

PVFB=PVFP

所谓万变不离其宗,用在这里也再合适不过了。

写在最后

这是一篇很枯燥的文章,我在去年也写过,反响平平。

这次又旧文重发,并且使用我国的数据重新计算了一遍。

如果你能看到这里,相信你是一个能静下心来学习的人,为你点赞。

这里我也来做一个简要的总结:

1)保险公司不靠拒赔来赚钱,他们事先就已经使用大数法则计算好了要赔付的金额;

2)保费的计算要考虑到资金的时间价值,保险公司使用预定利率对我们的保费进行折现,从而降低了我们的保费。预定利率越高,净保费越低。

3)无论哪种净保费的计算,都有一个不变的原理:未来收取保费的现值,等于未来赔付金额的现值。

好了,就这些了。

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